WordPressはデフォルトだとカテゴリーの順番を変えられない。
そこで、簡単に並べ替えれるようにする、このプラグイン「My Category Order」を使います。

インストール方法

管理画面、左ナビの「プラグイン」＞「新規追加」より
「My Category Order」で検索。

インストールして有効化します。
すると管理画面、左ナビ「投稿」の中に「My Category Order」が表示されます。

この画面で直感的にドラッグ&ドロップで並べ替えできます。

これだけじゃ動かない

最後にカテゴリを表示しているソースを書き換えないといけません。

これを

<?php wp_list_cats('sort_column=name&optioncount=1'); ?>

こっちに修正

<?php wp_list_categories('orderby=order&title_li='); ?>

記事数を表示するにはこう修正

<?php wp_list_categories('orderby=order&show_count=1&title_li='); ?>

これで問題なく動作すると思います。

参考：ミblog WordPressのカテゴリを並べ替えるプラグイン、My Category Order

参考：主婦でも稼げる実践的アフィリエイト講座 WP カテゴリの並べ替えと記事数の表示